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2015版九年级数学上册素材 22.3实际问题与一元二次方程 韦达定理及应用 新人教版

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资料类别:  数学/素材 所属版本:  新人教
所属地区:  全国 上传时间:  2015/11/24
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资料概述与简介

根与系数的关系及其应用 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么 反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题,它是中学数学中的一个有用的工具. 1.已知一个根,求另一个根 利用韦达定理,我们可以通过方程的一个根,求出另一个根. 例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a,方程x2+1998x-1999=0的小根为b,求a-b的值. 解 先求出a,b. 由观察知,1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根,于是由韦达 又从观察知,1也是方程x2+1998x-1999=0的根,此方程的另一根为-1999,从而b=-1999. 所以a-b=1-(-1999)=2000. 例2 设a是给定的非零实数,解方程 解 由观察易知,x1=a是方程的根.又原方程等价于 2.求根的代数式的值 在求根的代数式的值的问题中,要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧. 例3 已知二次方程x2-3x+1=0的两根为α,β,求: (3)α3+β3;(4)α3-β3. 解 由韦达定理知 α+β=3,αβ=1. (3)α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2) =(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18; (4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) =(α-β)[(α+β)2-αβ] 例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β,求4α2+2β的值. 解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根,所以 4α2-2α-3=0, 即 4α2=2α+3. 4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4. 例5 已知α,β分别是方程x2+x-1=0的两个根,求2α5+5β3的值. 解 由于α,β分别是方程x2+x-1=0的根,所以 α2+α-1=0,β2+β-1=0, 即 α2=1-α,β2=1-β. α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α =(1-α-2α+1)α=-3α2+2α =-3(1-α)+2α=5α-3, β3=β2·β=(1-β)β=β-β2 =β-(1-β)=2β-1. 所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1) =10(α+β)-11=-21. 说明 此解法的关键在于利用α,β是方程的根,从而可以把它们的幂指数降次,最后都降到一次,这种方法很重要. 例6 设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根的和为s1,平方和为s2,立方和为s3,求as3+bs2+cs1的值. 解 设x1,x2是方程的两个实根,于是 所以 as3+bs2+cs1=0. 说明 本题最“自然”的解法是分别用a,b,c来表示s1,s2,s3,然后再求as3+bs2+cs1的值.当然这样做运算量很大,且容易出错.下面我们再介绍一种更为“本质”的解法. 另解 因为x1,x2是方程的两个实根,所以 同理 将上面两式相加便得 as3+bs2+cs1=0. 3.与两根之比有关的问题 例7 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之比等于常数k,则系数a,b,c必满足: kb2=(k+1)2ac. 证 设方程的两根为x1,x2,且x1=kx2,由韦达定理 由此两式消去x2得 即 kb2=(k+1)2ac. 例8 已知x1,x2是一元二次方程 4x2-(3m-5)x-6m2=0 解 首先,△=(3m-5)2+96m2>0,方程有两个实数根.由韦达定理知 从上面两式中消去k,便得 即 m2-6m+5=0, 所以 m1=1,m2=5. 4.求作新的二次方程 例9 已知方程2x2-9x+8=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方. 解 设x1,x2为方程2x2-9x+8=0的两根,则 设所求方程为x2+px+q=0,它的两根为x'1,x'2,据题意有 故 所以,求作的方程是 36x2-161x+34=0. 例10 设x2-px+q=0的两实数根为α,β. (1)求以α3,β3为两根的一元二次方程; (2)若以α3,β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次方程. 解 (1)由韦达定理知 α+β=p,αβ=q, 所以 α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q), α3·β3=(αβ)3=q3. 所以,以α3,β3为两根的一元二次方程为 x2-p(p2-3q)x+q3=0. (2)由(1)及题设知 由②得q=0,±1.若q=0,代入①,得p=0,±1;若q=-1,代入①, 以,符合要求的方程为 x2=0,x2-x=0,x2+x=0,x2-1=0. 5.证明等式和不等式 利用韦达定理可以证明一些等式和不等式,这常常还要用判别式来配合. 例11 已知实数x,y,z满足 x=6-y,z2=xy-9, 求证:x=y. 证 因为x+y=6,xy=z2+9,所以x,y是二次方程 t2-6t+(z2+9)=0 的两个实根,于是这方程的判别式 △=36-4(z2+9)=-4z2≥0, 即z2≤0.因z为实数,显然应有z2≥0.要此两式同时成立,只有z=0,从而△=0,故上述关于t的二次方程有等根,即x=y. 例12 若a,b,c都是实数,且 a+b+c=0,abc=1, 证 由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,由题意得 于是根据韦达定理知,b,c是方程 的两个根.又b,c是实数,因此上述方程的判别式 因为a>0,所以 a3-4≥0,a3≥4, 例13 知x1,x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根. 解 (1)显然a≠0,由△=16a2-16a(a+4)≥0,得a<0.由韦达定理知 所以 所以a=9,这与a<0矛盾.故不存在a,使 (2)利用韦达定理 所以(a+4)|16,即a+4=±1,±2,±4,±8,±16.结合a<0,得a=-2,-3,-5,-6,-8,-12,-20. 初中学习网,资料共分享!我们负责传递知识!www.czxxw.com

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